【数学建模笔记】数学建模的拟合

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。

最小二乘拟合

已知一组点 ​，​ 互不相同，寻求一个函数 ​，使 在某种准则下与所有数据点最为接近。

称 为拟合函数 在 ​​ 点的偏差，可以采用偏差平方和最小作为判定准则，即让 达到最小值。这一原则称最小二乘原则。

线性拟合

令 其中 是事先选定的一组线性无关的函数， 是待定系数。

记 为求 使 最小，令 得线性方程组 即

记

则方程组可表示为 该方程组有唯一解，求解即可。

例子

用 拟合 。

有 ，故

由 得 求解线性方程组得 故

非线性拟合

对于给定的 ，如果拟合函数不能以其线性组合的形式出现，则 ​ 为非线性函数。对于非线性函数的极小化问题，可用非线性优化方法求解。

Python 代码

使用 numpy 包进行一次、二次、三次多项式拟合上例，代码如下：

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @ author: Koorye
# @ date: 2021-7-26
# @ function: 使用 numpy 包进行最小二乘拟合

# %%

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# %%

# 源数据
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4, 10, 18, 26])

# 多项式拟合
z1 = np.polyfit(x, y, 1)
z2 = np.polyfit(x, y, 2)
z3 = np.polyfit(x, y, 3)

p1 = np.poly1d(z1)
p2 = np.poly1d(z2)
p3 = np.poly1d(z3)

# %%

print('p1 =\n', p1)
print('p2 =\n', p2)
print('p3 =\n', p3)

# %%


x1 = np.linspace(-2, 7, 100)
y1 = p1(x1)
y2 = p2(x1)
y3 = p3(x1)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x1, y1, label='linear')
plt.plot(x1, y2, label='quadratic')
plt.plot(x1, y3, label='cubic')
plt.legend()

输出如下：

p1 =
  
7.4 x - 4
p2 =
      2
0.5 x + 4.9 x - 1.5
p3 =
          3     2
-0.3333 x + 3 x - 0.6667 x + 2

有一次多项式 ，二次多项式 ，三次多项式 ，曲线如图所示。